已知四棱锥底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2,AB=1,E.F分别是线段AB,BC的中点,
(Ⅰ)证明:PF⊥FD;
(Ⅱ)在PA上找一点G,使得EG∥平面PFD;.
(Ⅲ)若与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
(1)略(2)AG=AP的点G为所求(3)二面角
的余弦值为
【解析】(I)此题证明的思路是.然后利用线面垂直的性质定理证DF⊥AF, DF⊥PA即可.
(II)先取PA的中点M,PD的中点N,连接BM,FN,MN,易证:四边形BMNF为平行四边形,因而取AM的中点就是要找的点G的位置.
(III)易知,所以PA=AB,解此题的关键是找出二面角
的平面角,过F作FQ垂直AD,垂足为Q,过Q作QH垂直PD,垂足为H,连接FH,则
就是二面角
的平面角,然后解三角形即可求出
的余弦值.也可利用空间向量法.
解:(Ⅰ)证明:连接AF,则AF=,DF=
,又AD=2,∴DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD,∴DF⊥PA,又PA∩AF=A,
……………4分
(Ⅱ)过点E作EH∥FD交AD于点H,则EH∥平面PFD且AH=AD.
再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥平面PFD且AG=AP,∴平面EHG∥平面PFD.∴EG∥平面PFD.从而满足AG=
AP的点G为所求. …8分
(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系,因为PA⊥平面ABCD ,所以是
与平面
所成的角.
又有已知得,所以
,所以
.设平面
的法向量为
,由
得
,令
,解得:
.所以
.又因为
,所以
是平面
的法向量,
易得,所以
.由图知,所求二面角
的余弦值为
.
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