Question

已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB，BC的中点，

（Ⅰ）证明：PF⊥FD；

（Ⅱ）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．

（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）AG＝AP的点G为所求（3）二面角的余弦值为

【解析】(I)此题证明的思路是.然后利用线面垂直的性质定理证DF⊥AF, DF⊥PA即可.

(II)先取PA的中点M，PD的中点N,连接BM，FN，MN,易证：四边形BMNF为平行四边形，因而取AM的中点就是要找的点G的位置.

（III）易知,所以PA=AB，解此题的关键是找出二面角的平面角，过F作FQ垂直AD，垂足为Q，过Q作QH垂直PD，垂足为H，连接FH，则就是二面角的平面角，然后解三角形即可求出的余弦值.也可利用空间向量法.

解：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF²＋AF²＝AD²，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

                          ……………4分

（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．从而满足AG＝AP的点G为所求．   …8分

（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD ，所以是与平面所成的角．

又有已知得，所以，所以．设平面的法向量为，由得，令，解得：．所以．又因为，所以是平面的法向量，

易得，所以．由图知，所求二面角的余弦值为．