Question

已知抛物线的焦点为F，以点为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。
（I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；
（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项

解：（I）因为该抛物线的焦点F的坐标为，故|FA|=4
所以，该圆的方程为
它与轴的上方交于

把中并化简得：

（1） （2） （3）

由（1）（2）（3）得
又由抛物线定义可得：
所以|FM|+|FN|=
而|MN|<|FM|+|FN|=8
又点F，M，N均在圆上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4
所以，|AM|+||AN=8，
因为，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|<8
所以，点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上， ………………8分
（II）若存在满足条件的实数a，
则有
设点P的坐标为

由（2）（3）得
这与矛盾
故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项 ………………13分