Question

已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20．求此等差数列的前n项和S_n，并求出当n为何值时，S_n最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：设出等差数列的首项和公差，根据题意利用等差数列的前n项和公式列出关于首项与公差的房产证，求出方程组的解得到首项与公差的值，把首项和公差代入求和公式得到S_n关于n的二次函数，由二次项系数小于0，得到抛物线开口向下，有最大值，配方后根据二次函数取最值的方法即可得到S_n的最大值，以及此时n的值．

解答：解：设等差数列的首项为a₁，公差为d，（1分）
则

S10=10a1+45d=110 S20=20a1+190d=20

，（2分）
所以a₁=20，d=-2，
所以S_n=-n²+21n，（5分）
又Sn=-n2+21n=-(n-

21

2

)2+

441

4

，n∈N^*，
所以当n=10或n=11时，S_n最大，最大值S₁₀=S₁₁=110．（8分）

点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，以及二次函数的性质，本题的思路为：由题意确定出首项和公差后，进而确定出求和公式S_n，利用二次函数的性质得出S_n的最大值，并求出此时n的值，特别注意n为正整数这个隐含条件．灵活运用等差数列的求和公式是解本题的关键．