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已知一个等差数列的前10项的和是110,前20项的和是20.求此等差数列的前n项和Sn,并求出当n为何值时,Sn最大,最大值是多少?
分析:设出等差数列的首项和公差,根据题意利用等差数列的前n项和公式列出关于首项与公差的房产证,求出方程组的解得到首项与公差的值,把首项和公差代入求和公式得到Sn关于n的二次函数,由二次项系数小于0,得到抛物线开口向下,有最大值,配方后根据二次函数取最值的方法即可得到Sn的最大值,以及此时n的值.
解答:解:设等差数列的首项为a1,公差为d,(1分)
S10=10a1+45d=110
S20=20a1+190d=20
,(2分)
所以a1=20,d=-2,
所以Sn=-n2+21n,(5分)
Sn=-n2+21n=-(n-
21
2
)2+
441
4
,n∈N*
所以当n=10或n=11时,Sn最大,最大值S10=S11=110.(8分)
点评:此题考查了等差数列的前n项和公式,等差数列的性质,以及二次函数的性质,本题的思路为:由题意确定出首项和公差后,进而确定出求和公式Sn,利用二次函数的性质得出Sn的最大值,并求出此时n的值,特别注意n为正整数这个隐含条件.灵活运用等差数列的求和公式是解本题的关键.
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