Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，且S_n=2-

1

2n-1

，{b_n}为等差数列，且a₁=b₁，a₂（b₂-b₁）=a₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}通项公式；
（Ⅱ）设cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求数列{a_n}的通项公式，进而可求数列{b_n}通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cn=

2n-1

1 2n-1

=(2n-1)•2n-1，故可用错位相减法来求数列的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2-

1

2n-1

）-（2-

1

2n-2

 ）=

1

2n-1

，
经验证当n=1时，此式也成立，所以an=

1

2n-1

，从而b₁=a₁=1，b2-b1=

a1

a2

=2，
又因为{b_n}为等差数列，所以公差d=2，∴b_n=1+（n-1）•2=2n-1，
故数列{a_n}和{b_n}通项公式分别为：an=

1

2n-1

，b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cn=

2n-1

1 2n-1

=(2n-1)•2n-1，
所以Tn=1×20+3×21+5×22+…+（2n-1）•2^n-1    ①
①×2得2Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ   ②
①-②得：-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-（2n-1）•2ⁿ
=1+2

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n=1+2ⁿ⁺¹-4-（2n-1）•2ⁿ=-3-（2n-3）•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和Tn=3+(2n-3)•2n．

点评：本题为数列的求通项和求和的综合应用，涉及等差等比数列以及错位相减法求和，属中档题．