精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,
PA=,E为PC的中点.
(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小;
(2)在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥平面MBD成立.如果存在,求出MC的长;如果不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)连AC、BD,由已知中PA⊥底面ABCD,结合面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥底面ABCD,进而再由面面垂直的性质得DO⊥平面PAC.连OE,则∠DEO即为DE与平面PAC所成的角,解三角形DEO即可得到直线DE与平面PAC所成角的大小;
(2)设AC∩BD=O,过O作OM⊥PC于M,结合已知中PA⊥底面ABCD,可得BD⊥PC,OM⊥PC,结合线面垂直的判定定理,可得此时PC⊥平面MBD成立.
解答:解:(1)如图,连AC、BD,则由PA⊥底面ABCD,得平面PAC⊥底面ABCD于AC,
又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC于O,∴DO⊥平面PAC.
连OE,则OE为DE在平面PAC上的射影,∴∠DEO即为DE与平面PAC所成的角.
由E为PC的中点可得PA=
又由菱形的性质可得,在Rt△AOD中,
∠ADO=60°,AD=1,∴
∴在Rt△DEO中,
∴∠DEO=30°.
(2)设AC∩BD=O,过O作OM⊥PC于M,
则由PA⊥底面ABCD可得
平面PAC⊥底面ABCD于AC.
又BD⊥AC,BD?底面ABCD,
∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥PC,
而由OM?平面PAC且OM⊥PC
可得PC⊥平面MBD.
故在线段PC上是存在一点M,使PC⊥平面MBD成立.
此时OM∥AE,且OM=AE=PC=
点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质,其中熟练掌握直线与平面夹角的定义,及空间线线、线面垂直关系之间的互相转化是解答本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中点.求证:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,M为AP的中点.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求三棱锥P-MBD的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求证:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角E-BD-A的大小为45°,若存在,试求
AE
AP
的值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,点F是PB中点.
(Ⅰ)若E为BC中点,证明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC边上任一点,证明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直线PA与平面PDE所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,设PC与AD的夹角为θ.
(1)求点A到平面PBD的距离;
(2)求θ的大小;当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ,求动点Q的轨迹方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案