【题目】如图,已知在四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,,点在底面的投影恰好为与的交点,.
(1)证明:;
(2)若为的中点,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)在平面图形中,过点作的垂线交于点,得,在中,利用余弦定理求得,根据相似可得,从而证出,再由平面,可得,利用线面垂直的判定定理可证出平面,进而证出.
(2)以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量与平面的一个法向量,由,利用空间向量的数量积即可求解.
(1)证明:如图,在平面图形中,过点作的垂线交于点,
易得,故,
在中,由余弦定理知,
,
故.
由相似可知,,
又,∴,
故,∴.
又点在底面的投影为,∴平面,∴,
又,∴平面,∴.
(2)解:如图,以为原点,,,分别为,,轴
建立空间直角坐标系,由(1)知,
故,,,
,,,
故,,.
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,解得,故.
同理,可求得平面的一个法向量为,
设二面角为,
则.
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【题目】在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x,将指标x按照分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.
规定若,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”,且当时,认定该户为“低收入户”;当时,认定该户为“亟待帮助户”,已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关;
甲村 | 乙村 | 总计 | |
绝对贫困户 | |||
相对贫困户 | |||
总计 |
(2)若两村“低收入户”中乙村“低收入户”占比为,两村“亟待帮助户”中乙村“亟待帮助户”占比为,且乙村贫困指标在上的户数成等差数列,试估计乙村贫困指标x的平均值.
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,判断下列结论:
(1)月接待游客量逐月增加;
(2)年接待游客量逐年增加;
(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月;
(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳.
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.
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【题目】已知椭圆的长轴长为4,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线的斜率为,且与椭圆相交于,两点(异于点),过作的角平分线交椭圆于另一点.证明:直线与坐标轴平行.
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【题目】已知两条抛物线C:y2=2x,E:y2=2px(p>0且p≠1),M为C上一点(异于原点O),直线OM与E的另一个交点为N.若过M的直线l与E相交于A,B两点,且△ABN的面积是△ABO面积的3倍,则p=_____
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【题目】在无穷数列中,,记前项中的最大项为,最小项为,令.
(1)若的前项和满足.
①求;
②是否存在正整数满足?若存在,请求出这样的,若不存在,请说明理由.
(2)若数列是等比数列,求证:数列是等比数列.
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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