Question

命题：
①设、、是互不共线的非零向量，则-=；
②“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）单调递增”的充分不必要条件；
③已知α，β∈R，则“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件；
④函数f（x）=2^x-x²的在（1，3）上至少一个零点；
⑤的解集为[2，+∞）；
⑥函数y=x³在x=0处切线不存在．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①利用向量共线的充要条件即可判断出；
②利用复合函数的单调性的判断方法即可得出；
③由正切函数的性质即可判断出；
④由函数零点的判定定理即可得出；
⑤不要漏了x=1时的情况；
⑥利用导数可得出切线的斜率，从而切线存在．
解答：解：①假设（•）-（•）=正确，则，若与不全为0，则向量与共线，与已知、、是互不共线的非零向量矛盾，因此不正确；
②当a=1时，函数f（x）=lg（x+1）在（0，+∞）单调递增；若函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）单调递增，则a＞0．故“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）单调递增”的充分不必要条件，因此正确；
③由“α=β=”推不出“tanα=tanβ”；反之也不成立，如，但是．因此则“α=β”是“tanα=tanβ”的既不充分也不必要条件；
④∵f（1）f（3）=（2-1）×（8-9）＜0，∴函数f（x）=2^x-x²的在（1，3）上至少一个零点，故正确；
⑤当x=1时，满足；当x＞1时，原不等式可化为x-2≥0，解得x≥2．综上可知：原不等式的解集为{1}∪[2，+∞），故⑤不正确；
⑥∵y^′=3x²，∴f^′（0）=0，故函数y=x³在x=0处切线为x轴．因此⑥不正确．
综上可知：只有②④正确，即正确命题的个数为2．
故选B．
点评：熟练掌握向量共线的充要条件、复合函数的单调性的判定方法、函数零点的判定定理、正切函数的性质、不等式的解法及导数的几何意义是解题的关键．