Question

9．对于函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（a∈R，a＞0，且a≠1）．
（1）先判断函数y=f（x）的单调性，再证明之；
（2）实数a=1时，证明函数y=f（x）为奇函数；
（3）求使f（x）=m，（x∈[0，1]）有解的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）容易判断f（x）在R上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上为增函数；
（2）a=1时，通分得到f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，可以得出f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（3）根据（1）f（x）在R上单调递增，从而可以求出f（x）在[0，1]上的值域，从而便可得到m的取值范围．

解答 解：（1）x增大时，2^x增大，∴f（x）增大，∴函数f（x）在定义域R上为增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
${2^{x_1}}$＜${2^{x_2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又${2^{x_1}}+1$＞0，${2^{x_2}}_{\;}+1$＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函数；
（2）证明：当a=1时，f（x）=1-$\frac{2}{{{2^{{x_{\;}}}}+1}}$=$\frac{{{2^{{x_{\;}}}}-1}}{{{2^{{x_{\;}}}}+1}}$；
f（-x）=$\frac{{{2^{-{x_{\;}}}}-1}}{{{2^{-{x_{\;}}}}+1}}$=$\frac{{1-{2^{{x_{\;}}}}}}{{1+{2^{{x_{\;}}}}}}$=-f（x）；
∴a=1时f（x）为奇函数；
（3）由（1）知，f（x）在R上为增函数；
∵x∈[0，1]；
∴f（0）≤f（x）≤f（1）；
即$a-1≤f（x）≤a-\frac{2}{3}$；
∴$a-1≤m≤a-\frac{2}{3}$；
∴实数m的取值范围为$[a-1，a-\frac{2}{3}]$．

点评 考查指数函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义判断和证明一个函数为增函数的方法和过程，以及奇函数的定义，根据增函数的定义求函数的值域．