【题目】设常数.在平面直角坐标系xOy中,已知点,直线l:,曲线Γ:(,).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.
(1)用t表示点B到点F的距离;
(2)设,,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;
(3)设,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|;
方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;
(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积;
(3)设P及E点坐标,根据直线kPFkFQ=﹣1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据,求得E点坐标,则()2=8(6),即可求得P点坐标.
(1)方法一:由题意可知:设,
则,;
方法二:由题意可知:设,
由抛物线的性质可知:,;
(2),,,则,
,,设OQ的中点D,,
,则直线PF方程:,
联立,整理得:,解得:,(舍去),
△AQP的面积;
(3)存在,设,,则,,
直线QF方程为,
,,
根据,则,
,解得:,
存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
温差x/oC | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y/颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(Ⅰ)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出关于的线性回归方程
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠.
(参考公式, , ),参考数据
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【题目】定义,,…,的“倒平均数”为.
(1)若数列前项的“倒平均数”为,求的通项公式;
(2)设数列满足:当为奇数时,,当为偶数时,.若为前项的倒平均数,求;
(3)设函数,对(1)中的数列,是否存在实数,使得当时,对任意恒成立?若存在,求出最大的实数;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆,为左焦点,为上顶点,为右顶点,若,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为.
(1)求的标准方程;
(2)是否存在过点的直线,与和交点分别是和,使得?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】对于集合A,定义了一种运算“”,使得集合A中的元素间满足条件:如果存在元素,使得对任意,都有,则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如:,运算“”为普通乘法;存在,使得对任意,都有,所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”:
①,运算“”为普通减法;
②,运算“”为矩阵加法;
③(其中M是任意非空集合),运算“”为求两个集合的交集.
其中对运算“”有单位元素的集合序号为( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③
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【题目】某企业生产一种产品,从流水线上随机抽取100件产品,统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图):
规定产品的质量指标值在的为劣质品,在的为优等品,在的为特优品,销售时劣质品每件亏损1元,优等品每件盈利3元,特优品每件盈利5元.以这100 件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率.
(1)求每件产品的平均销售利润;
(2)该企业为了解年营销费用(单位:万元)对年销售量(单位:万件)的影响,对近5年年营销费用和年销售量数据做了初步处理,得到如图的散点图及一些统计量的值.
16.30 | 23.20 | 0.81 | 1.62 |
表中,,,.
根据散点图判断,可以作为年销售量(万件)关于年营销费用(万元)的回归方程.
①求关于的回归方程;
⑦用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费,才能使得该企业的年收益的预报值达到最大?(收益=销售利润营销费用,取)
附:对于一组数据,,…,其回归直线均斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
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【题目】随着中国教育改革的不断深入,越来越多的教育问题不断涌现.“衡水中学模式”入驻浙江,可以说是应试教育与素质教育的强烈碰撞.这一事件引起了广大市民的密切关注.为了了解广大市民关注教育问题与性别是否有关,记者在北京,上海,深圳随机调查了100位市民,其中男性55位,女性45位.男性中有45位关注教育问题,其余的不关注教育问题;女性中有30位关注教育问题,其余的不关注教育问题.
(1)根据以上数据完成下列2×2列联表;
关注教育问题 | 不关注教育问题 | 合计 | |||||
女 | 30 | 45 | |||||
男 | 45 | 55 | |||||
合计 | 100 | ||||||
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | ||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | |||
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否关注教育与性别有关系?
参考公式:,其中.
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【题目】椭圆经过点,左、右焦点分别是,,点在椭圆上,且满足的点只有两个.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于,两点,在轴上是否存在一点,使得的角平分线是轴?若存在求出,若不存在,说明理由.
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