Question

5．如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，CD=2AB，且PD⊥平面ABCD，M为线段PC上一点．
（1）当∠CBD=90°时，证明：平面PBC⊥平面PDB；
（2）设平面PAB∩平面PDC=l，证明：AB∥l
（3）当平面MBD将四棱锥P-ABCD恰好分成两个体积体积相等的几何体时，试求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）当∠CBD=90°时，证明BC⊥平面PDB，即可证明：平面PBC⊥平面PDB；
（2）将四棱锥P-ABCD补成三棱柱PAD-GEC，设平面PAB∩平面PDC=l，平面PAEG∩PDCG=PG，AB∥PG，即可证明：AB∥l；
（3）利用平面MBD将四棱锥P-ABCD恰好分成两个体积体积相等的几何体，CD=2AB，设AB=x，则CD=2x，底面ABCD的高为h，设PD=a，利用体积关系，即可求$\frac{PM}{MC}$的值．

解答 （1）证明：∵∠CBD=90°，∴CB⊥BD
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD=D，BD、PD?平面PDB，
∴BC⊥平面PDB，
又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDB．
（2）证明：如图所示，将四棱锥P-ABCD补成三棱柱PAD-GEC，则$PG\underline{\underline{∥}}AE，PD\underline{\underline{∥}}GC$，
∴平面PAB即为平面PAEG，平面PDC即为平面PDCG，
∵平面PAB∩平面PDC=l，∴平面PAEG∩PDCG=PG，AB∥PG，∴AB∥l．
（3）解：∵平面MBD将四棱锥P-ABCD恰好分成两个体积体积相等的几何体，CD=2AB，
设AB=x，则CD=2x，底面ABCD的高为h，${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}（x+2x）h=\frac{3}{2}xh，{S_{BCD}}=\frac{1}{2}•2x•h=xh$，
设PD=a，∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}•\frac{3}{2}xh•a=\frac{1}{2}xha$，∴${V_{P-BCD}}=\frac{1}{4}xha$
设$\frac{PM}{MC}=λ$，则${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}xh•\frac{1}{λ+1}a=\frac{1}{4}xha$，∴$λ=\frac{1}{3}$，$\frac{PM}{MC}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．