Question

函数y=f（x）^g（x）在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g（x）lnf（x），两边求导数

y′

y

=g′(x)lnf(x)+g(x)

f′(x)

f(x)

，于是y'=f（x）^g（x）[g′(x)lnf(x)+g(x)

f′(x)

f(x)

]．运用此方法可以探求得知y=x

1

x

(x＞0)的一个单调增区间为

 

．

Answer 1

分析：仔细分析题意，找出f（x），g（x），然后依据题意求函数的导数，判断导数的单调性，求出一个单调增区间即可．

解答：解：仿照题目给定的方法，f（x）=x，g（x）=

1

x

所以f′（x）=1，g′（x）=-

1

x2

所以，y′=(-

1

x2

lnx+

1

x

•

1

x

)x

1

x

=

1-lnx

x2

x

1

x

∵x＞0∴x

1

x

＞0 ， x2＞0 
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0
即：x∈（0，e）
y=x

1

x

(x＞0)的一个单调增区间为：（0，e）或它的一个子集即可，
故答案为：（0，e）或它的一个子集．

点评：本题考查对数的运算性质，导数的运算，函数的单调性与导数的关系，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，是基础题．