Question

17．过点M（1，1）的直线与椭圆$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$交于A，B两点，且点M平分弦AB，则直线AB方程为（　　）

• A． 4x+3y-7=0
• B． 3x+4y-7=0
• C． 3x-4y+1=0
• D． 4x-3y-1=0

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程，两式相减，通过x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，即可解出直线的k，可得直线AB的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$，
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{12}+\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}=0$，
又点M平分弦AB，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
∴k=-$\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{12（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$-\frac{3}{4}$．
∴直线AB的方程为：y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），化为3x+4y-7=0．
故选：B．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．