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如图,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是AB的中点,G是AD的中点,EC与平面ABCD成30°角,
(1)(理、文)求证EG⊥平面ABCD;
(2)(理、文)当AD的长是多少时,D点到平面EFC的距离为2?请说明理由.
(3)(理答文不答)若AD=2,求二面角E-FC-G的度数.
分析:(1)利用△ADE是等边三角形,得EG⊥AD,再根据面面垂直的性质证明线面垂直;
(2)设AD=a,根据EC与平面ABCD成30°角,求出CD,EF,CF,再利用三棱锥的换底性,即∵VE-FCD=VD-EFC ,根据体积公式列出等式求a;
(3)由AD=2,根据EC与平面ABCD成30°角,求出CD,FG,FC,GC,利用定义证明二面角的平面角,在三角形中求解.
解答:解:(1)证明:∵△ADE是等边三角形,∴EG⊥AD,
又平面ADE⊥平面ABCD,且交于AD,EG?平面ADE,
∴EG⊥平面ABCD.
(2)连DF,D点到平面EFC的距离即为三棱锥D-EFC的高,
∵VE-FCD=VD-EFC
1
3
S△DFC•EG=
1
3
S△EFC×2

设AD=a,EG=
3
2
a,连接CG,
由(1)知CG为EC在平面ABCD中的射影,∴∠ECG=30°,
在Rt△EGC中CG=EG×cot30°=
3
2
a

DG2+CD2=CG2CD=
2
a
EF=FC=
6
2
a
,EC=
3
a,
∵EF2+FC2=EC2,∴EF⊥FC,
1
3
×
1
2
2
3
a
2
=
1
3
×
1
2
×
6
2
6
2
a×2

a=
6
,即AD=
6
时,点D到平面EFC的距离为2.
(3)由(2)知∠ECG是EC与平面ABCD所成的角,
即∠ECG=30°,∵AD=2,∴EG=
3

在Rt△ECG中,∴GC=3,∴CD=2
2

AF=BF=
2
,GF=
3
,FC=
6

∴GF2+FC2=GC2,即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC上的射影,EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角,
在Rt△EGF,EG=GF=
3

∴∠EFG=45°,故所求二面角E-FC-G的度数是450
点评:本题考查了线面垂直的判定,点到平面的距离问题,考查了三垂线定理及其应用,考查了二面角的定义及求法,考查了学生的空间想象能力与推理论证能力,综合性强.
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2
a,DF=
2
a
2

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2
a,DF=
2
a
2
. 
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