Question

19．设a+b=2，b＞0，
（1）若a＞0，且a+2b+mab＞0恒成立，求m的取值范围；
（2）若a∈R，求 $\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化为$-m＜\frac{1}{b}+\frac{2}{a}$，由a+b=2，b＞0，a＞0，可得$\frac{1}{b}+\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}（a+b）（\frac{1}{b}+\frac{2}{a}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}）$，再利用基本不等式的性质即可得出；
（2）对a分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）原不等式可化为$-m＜\frac{1}{b}+\frac{2}{a}$，
∵a+b=2，b＞0，a＞0，
∴$\frac{1}{b}+\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}（a+b）（\frac{1}{b}+\frac{2}{a}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}）$≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，当且仅当a=$\sqrt{2}$b=2（2-$\sqrt{2}$）时取等号．
∴${（{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}）_{min}}=\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$，
∴m的范围是$（-\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}，+∞）$．
（2）由题a≠0，当a＞0时，原式=$\frac{1}{2a}+\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{4a}+\frac{a}{b}$=$\frac{1}{4}+\frac{b}{4a}+\frac{a}{b}$$≥\frac{5}{4}$．
a＜0时，原式=$\frac{1}{-2a}+\frac{-a}{b}$=$\frac{a+b}{-4a}+\frac{-a}{b}$=$-\frac{1}{4}+\frac{b}{-4a}+\frac{-a}{b}$$≥\frac{3}{4}$．
故所求的最小值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．