Question

在△ABC中，tanA+tanB+

3

=

3

tanA•tanB，且sinA•cosA=

3

4

，则此三角形为

等边三角形

．

Answer 1

分析：将已知的第一个等式变形，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出tan（A+B）的值，由A与B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，进而确定出C的度数，再将第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，即可确定出三角形ABC的形状．

解答：解：∵tanA+tanB+

3

=

3

tanA•tanB，即tanA+tanB=-

3

（1-tanAtanB），
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=tan（A+B）=-

3

，又A与B都为三角形的内角，
∴A+B=120°，即C=60°，
∵sinAcosA=

sinAcosA

sin2A+cos2A

=

tanA

1+tan2A

=

3

4

，
∴tanA=

3

，∴A=60°，
则△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．