Question

在△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A=

3

5

，sinC=

10

10

．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）若a-c=

2

-1，求a，b，c的值；
（3）已知tan（α+A+C）=2，求

1

2sinαcosα+cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角三角函数与同角三角函数的关系，算出cosA、sinA和cosC的值，最后用两角和的余弦公式，即可求出cos（A+C）的值；
（2）由（1）求出的cos（A+C）值，可得A+C=

π

4

，从而算出sinB=

2

2

，结合正弦定理得出a：b：c=2

5

：5

2

：

10

，再结合题意a-c=

2

-1，不难得出三边a，b，c的值；
（3）由题意，tan（α+

π

4

）=2，解之得tanα=

1

3

，再将所求式的分子转化为cos²α+sin²α，分子分母同除以cos²α转化为关于tanα的式子，即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）∵cos2A=2cos2A-1=

3

5

，且A为锐角
∴cosA=

2 5

5

，sinA=

1-cos2A

=

5

5

∵sinC=

10

10

，且C为锐角
∴cosC=

1-sin2C

=

3 10

10

因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

2 5

5

•

3 10

10

-

5

5

•

10

10

=

2

2

（2）∵cos（A+C）=

2

2

，0＜A+C＜π，∴A+C=

π

4

，得B=π-

π

4

=

3π

4

，sinB=

2

2

∵sinA=

5

5

，sinB=

2

2

，sinC=

10

10

，
∴sinA：sinB：sinC=2

5

：5

2

：

10

由正弦定理，得a：b：c=2

5

：5

2

：

10

，设a=2

5

x，得b=5

2

x，c=

10

x
∵a-c=

2

-1，得2

5

x-

10

x=

2

-1
∴x=

10

10

，可得a=

2

，b=

5

，c=1
（3）由（2）知A+C=

π

4

，得tan（α+

π

4

）=2
∴

tanα+tan π 4

1-tanαtan π 4

=2，解之得tanα=

1

3

所以

1

2sinαcosα+cos2α

=

cos2α+sin2α

2sinαcosα+cos2α

=

1+tan2α

2tanα+1

=

2

3

点评：本题给出三角形的两个角A、C与边a、c的关系式，求三边的长并求三角函数式的值，着重考查了三角恒等变形、三角形内角和定理和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．