Question

已知函数f（x）=x-

2

x

+1-alnx，a＞0
（1）a=1，求曲线在点A（1，f（1））处的切线方程   
 （2）讨论f（x）的单调性；
（3）设a=3，求f（x）在区间{1，e²}上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，然后求出在x=1处的导数，得到切线的斜率，最后利用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；
（2）先令t=

1

x

，则y=2t²-at+1（t≠0），由求导可判断其单调性，要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复．
（3）由（2）所涉及的单调性来求在区间上的值域即可．

解答：解：（1）f′（x）=1+

2

x2

-

1

x

f′（1）=2∴曲线在点A（1，f（1））处的切线方程y=2x-2       （3分）
（2）∵f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

令t=

1

x

，y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2

2

，y≥0恒成立
∴函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函数
②①△=a2-8＞0，即：a＞2

2

，y=0有两个根
由2t²-at+1＞0，t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

0＜x＜

a- a2-8

4

或x＜0或x＞

a+ a2-8

4

由2t²-at+1＜0，

a- a2-8

4

＜t＜

a+ a2-8

4

∴

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

综上：①0＜a≤2

2

，函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函数
②a＞2

2

函数f（x）在（-∞，0），(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)上是增函数，在 (

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)上是减函数，
（3）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在[2，e²]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2＜0，f（e²）=e²-

2

e2

-5＞0
∴f（x）在区间{1，e²}上值域是[2-3ln2，e²-

2

e2

-5]

点评：本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．