Question

【题目】已知数列{an}的前n项和 ，且a1 ， a4是等比数列{bn}的前两项，记bn与bn+1之间包含的数列{an}的项数为cn ， 如b1与b2之间包含{an}中的项为a2 ， a3 ， 则c1=2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{ancn}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知， ，两式作差得an=2n﹣1+an﹣an﹣1，即an﹣1=2n﹣1（n≥2）

所以an=2n+1，则a1=3，a4=9，

所以 ，所以

（2）解： ，因为数列{an}是由连续的奇数组成的数列，而bn和bn+1都是奇数，所以bn与bn+1之间包含的奇数个数为 ，所以 …（8分） ．设{（2n+1）3n}的前n项和为Tn， ，① ，②

①-②，得 ，则 ，

所以数列{ancn}的前n项和为

【解析】（1）利用an=Sn﹣Sn﹣1 ， 求出数列{an}的通项公式，利用且a1 ， a4是等比数列{bn}的前两项，求出公比即可求解{bn}的通项公式．（2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．