Question

14、已知点M是抛物线y²=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x-4）²+（y-1）²=1上，则|MA|+|MF|的最小值为

4

；

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线与N根据抛物线定义判断|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C三点共线时|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．

解答：解：∵M是抛物线y²=4x上的点
∴准线：x=-1
过点M作MN⊥准线与N
∵|MN|=|MF|
∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|
∵A在圆C：（x-4）²+（y-1）²=1，圆心C（4，1），半径r=1
∴当N，M，C三点共线时
|MA|+|MF|最小
∴（|MA|+|MF|）_min=（|MA|+|MN|）_min
=|CN|-r=5-1=4
∴（|MA|+|MF|）_min=4
故答案为4

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了数形结合的思想，化归和转化的思想直观的解决了问题．