分析 (1)求出函数的导数,得到ex-x-1>0,设h(x)=ex-x-1-$\frac{1}{2}$x2,根据函数的单调性判断出结论即可;
(2)设φ(x)=x-sinx,求出函数的导数,问题只需x-sinx-ax3<0恒成立,设g(x)=x-sinx-ax3,通过讨论a的范围结合函数的单调性判断即可.
解答 解:(1)设f(x)=ex-x-1,f′(x)=ex-1,
令f′(x)>0,解得:x>0,令f′(x)<0,解得:x<0,
∴f(x)在(-∞,0)递减,
∴x<0时,f(x)>f(0)=0,
即ex-x-1>0,
设h(x)=ex-x-1-$\frac{1}{2}$x2,
x≤0时,h′(x)=ex-1-x≥0,
∴h(x)在(-∞,0]递增,
∴x<0时,h(x)<h(0)=0,
即ex-x-1-$\frac{1}{2}$x2<0,
∴x<0时,|ex-x-1|<$\frac{1}{2}$x2;
(2)即求使x>0时,|x-sinx|<ax3恒成立的最小正数a,
设φ(x)=x-sinx,φ′(x)=1-cosx≥0,∴φ(x)在[0,+∞)递增,
∴x>0时,φ(x)>φ( ))=0,∴x-sinx>0,
∴只需x-sinx-ax3<0恒成立,
设g(x)=x-sinx-ax3,
当a≥$\frac{1}{6}$时,g′(x)=1-cosx-3ax2,g″(x)=sinx-6ax,
x≥0时,sinx≤x,∴g″(x)≤x-6ax≤0,
∴g′(x)在[0,+∞)递减,
∴x≥0时,g′(x)≤g′(0)=0,
∴g(x)在[0,+∞)递减,
∴x>0时,g(x)<g(0)=0,即x-sinx<ax3,
∴a≥$\frac{1}{6}$时,|x-sinx|<ax3恒成立,
当0<a<$\frac{1}{6}$时,g′″(x)=cosx-6a,
?x0∈(0,$\frac{π}{2}$),使得cosx0-6a=0,
且x∈[0,x0]时,g′″(x)≥0,∴g″(x)在[0,x0]上单增,
∴x∈[0,x0]时,g″(x)≥g″(0)=0,∴g′(x)在[0,x0]上单增,
∴x∈[0,x0]时,g′(x)≥g′(0)=0,∴g(x)在[0,x0]上单增,
∴x∈(0,x0]时,g(x)>g(0)=0,
即x-sinx-ax3>0,这与题意不符,
综上,所求正数a的最小值为$\frac{1}{6}$.
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,分类讨论思想以及转化思想,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 线性回归模型y=bx+a+e是一次函数 | |
B. | 在线性回归模型y=bx+a+e中,因变量y是由自变量x唯一确定的 | |
C. | 在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适 | |
D. | 用R2=1-$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}({y}_{i}-{\widehat{y}}_{i})^{2}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}$来刻画回归方程,R2越小,拟合的效果越好 |
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