Question

给出下列四个命题：①若直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为2；②双曲线C：

x2

16

-

y2

9

=-1的离心率为

3

5

；③若⊙C₁：x²+y²+2x=0⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两圆恰有2条公切线；④若直线l₁：a²x-y+6=0与直线l₂：4x-（a-3）y+9=9互相垂直，则a=-1．
其中正确命题的序号是

②③

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①根据抛物线的定义和性质进行判断；②根据双曲线的离心率公式进行判断；③根据圆与圆的位置关系进行判断．④根据直线垂直的条件进行判断．

解答：解：①由y=2x²得x2=

1

2

y，∴2p=

1

2

，∴过抛物线焦点的直线，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为

1

2

，∴①错误．
②由C：

x2

16

-

y2

9

=-1得双曲线的标准方程为：

y2

9

-

x2

16

=1，即a=3，b=4，c=5，∴离心率为

c

a

=

5

3

，∴②错误．
③若⊙C₁：x²+y²+2x=0⊙C₂：ax²-y+6=0，则这两圆恰有2条公切线；④若直线l₁：a²x-y+6=0与直线l₂：4x-（a-3）y+9=9互相垂直，则a=-1．
③∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圆心为（-1，0），半径等于1的圆．⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圆心为（0，-1），半径等于

2

的圆．两圆的圆心距等于

2

，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线由2条，∴③正确．
④当直线a²x-y+6=0与4x-（a-3）y+9=0互相垂直时，则有4a²+（a-3）=0，解得a=-1或

3

4

，∴④错误．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的判断，熟练掌握圆锥曲线的方程和性质是解决本题的关键．