Question

【题目】设函数f（x）=x2﹣（m﹣1）x+2m
（1）若函数f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在（0，1）内有零点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立x2﹣（m﹣1）x+2m＞0在（0，+∞）上恒成立，

m（x﹣2）＜x2+x在（0，+∞）上恒成立，

①当x=2时，m∈R，

②x＞2时，m＜ ，∵ ≥2 +5，∵m＜2 +5；

③0＜x＜2时，m＞ ，∵（x﹣2）+ =﹣[（2﹣x）+ ]＜﹣5，

＜0，∴m≥0 +5

综上可知，m的取值范围：0≤m＜2 +5

（2）解：函数f（x）在（0，1）内有零点，m（x﹣2）=x2+x在（0，1）上有解，m= 在（0，1）上有解．

令2﹣x=t，t∈（1，2），函数g（t）=t+ ，t∈（1，2）时单调递减，g（t）=∈（5，7）

x∈（0，1）， ∈（﹣2，0）．

故m的取值范围：（﹣2，0）

【解析】（1）函数f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立m（x﹣2）＜x2+x在（0，+∞）上恒成立，按x=2，x＞2时，0＜x＜2分类求解；（2）函数f（x）在（0，1）内有零点，m（x﹣2）=x2+x在（0，1）上有解，m= ，在（0，1）上有解．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．