【题目】已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN= ,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c
(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值:
(2)若c= ,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
【答案】
(1)解:∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2
∴a=c﹣4,b=c﹣2,
在△ABC中,∵ ,
由余弦定理可得cos∠MCN= =﹣
,
代值并整理可得c2﹣9c+14=0,解得c=2或c=7,
∵a=c﹣4>0,∴c>4,∴c=7
(2)解:由题意可得周长y=2sinθ+2sin( ﹣θ)+
=2sin( +θ)+
,
∴当 +θ=
即θ=
时,周长取最大值2+
【解析】(1)由题意可得a=c﹣4,b=c﹣2,由余弦定理cos∠MCN= =﹣
可得c的方程,解方程验证即可;(2)由题意可得周长y=2sinθ+2sin(
﹣θ)+
=2sin(
+θ)+
,由三角函数的最值可得.
【考点精析】通过灵活运用余弦定理的定义,掌握余弦定理:;
;
即可以解答此题.
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【题目】已知圆过两点
,
,且圆心
在直线
上.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)直线过点
且与圆
有两个不同的交点
,
,若直线
的斜率
大于0,求
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在直线使得弦
的垂直平分线过点
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形,
= 4且
⊥底面
,点
为
的中点.
(Ⅰ)求证: 面
;
(Ⅱ)在边上找一点
,使
∥面
,
并求三棱锥的体积.
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【题目】小明同学在寒假社会实践活动中,对白天平均气温与某家奶茶店的品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温
(
)与该奶茶店的
品牌饮料销量
(杯),得到如表数据:
日期 | 1月11号 | 1月12号 | 1月13号 | 1月14号 | 1月15号 |
平均气温 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若先从这五组数据中抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)请根据所给五组数据,求出关于
的线性回归方程式
;
(3)根据(2)所得的线性回归方程,若天气预报1月16号的白天平均气温为,请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,
)
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【题目】如图,四棱锥中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
,点
在
上,且
.
(Ⅰ)已知点在
上,且
,求证:平面
平面
;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为多少时,直线
与平面
所成的角为
?
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【题目】(本题满分12分)一块长为、宽为
的长方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为
的小正方形,然后做成一个无盖方盒.
(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数;
(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值.
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【题目】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积.
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