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已知函数f(x)=3x+k (k为常数),A(-2k,2)是函数y=f-1(x)图象上的点.
(1)求实数k的值及函数f-1(x)的解析式;
(2)将y=f-1(x)的图象按向量
a
=(3,0)平移,得到函数y=g(x)的图象,若2f-1(x+m-3)-g(x)≥1恒成立,求正实数m的取值范围.
分析:(1)根据函数f(x)=3x+k (k为常数),A(-2k,2)是函数y=f-1(x)图象上的点,可求得k,进而可求f-1(x)的解析式;
(2)y=g(x)=f-1(x-3)=log3x(x>0),2f-1(x+m-3)-g(x)≥1恒成立等价于2log3(x+m)-log3x≥1恒成立,进而可得
x>0
m>0
x+m≥
3x
,由此可求正实数m的取值范围.
解答:解:(1)∵函数f(x)=3x+k (k为常数),A(-2k,2)是函数y=f-1(x)图象上的点
∴-2k=32+k,∴k=-3
∴y=f(x)=3x-3,∴x=log3(y+3)
∴f-1(x)=log3(x+3)(x>-3)
(2)y=g(x)=f-1(x-3)=log3x(x>0)
2f-1(x+m-3)-g(x)≥1恒成立等价于2log3(x+m)-log3x≥1恒成立
x+m>0
x>0
(x+m)2
x
≥3
,∴
x>0
m>0
x+m≥
3x

∵x>0,∴m≥-x+
3x
=-(
x
-
3
2
)
2
+
3
4
3
4

∴m≥
3
4
点评:本题考查函数解析式的确定,考查恒成立问题,解题的关键是确定函数的解析式,属于中档题.
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3-x
+
1
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已知函数f(x)=
3-x
+
1
x+2
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x
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恒成立,求实数k的取值范围.

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