Question

已知函数f（x）=

x+1

x-2

，x∈[3，7]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）在区间[3，7]内单调递减，根据取值、作差、变形定号、下结论的步骤，可得结论；
（2）根据函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）函数f（x）在区间[3，7]内单调递减，证明如下：
在[3，7]上任意取两个数x₁和x₂，且设x₁＞x₂，
∵f（x₁）=

x1+1

x1-2

，f（x₂）=

x2+1

x2-2

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1+1

x1-2

-

x2+1

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

．
∵x₁，x₂∈[3，7]，x₁＞x₂，
∴x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₂-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），由单调函数的定义可知，函数f（x）为[3，7]上的减函数．
（2）由单调函数的定义可得f（x）_max=f（3）=4，f（x）_min=f（7）=

8

5

．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．