Question

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：
（1）

EF

•

BA

；
（2）

EF

•

DC

；
（3）EG的长；
（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,异面直线及其所成的角

专题：平面向量及应用,空间角

分析：（1）由数量积的定义得到

EF

•

BA

=EF×AB×cos60°，计算即可
（2）由题意作图，可得

EF

•

DC

数量积为

1

2

BD

•

CD

，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得．
（3）由题意，得到△EFG是等腰直角三角形，即可求EG的长度；
（4）利用向量的数量积公式，求出向量

AG

与

CE

的夹角的余弦值，即可求异面直线AG与CE所成角的余弦值．

解答： 解：（1）因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，
所以

EF

•

BA

=EF×AB×cos60°=

1

2

BD×AB×cos60°=

1

4

；
（2）

EF

•

DC

=-

1

2

BD

•

CD

=-

1

2

BD×CD×cos60°=-

1

4

；
（3）因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，
所以EF=FG=

1

2

，
作AH⊥BD，则H 为BD的中点，所以CH⊥BD，所以BD⊥平面ACH，所以AC⊥BD，
所以EF⊥FG，
所以EG=

2

EF=

2

2

；
（4）设向量

AG

=

1

2

（

AC

+

AD

），

CE

=

1

2

（

CA

+

CB

），
因为AC=1，＜

AC

，

CB

＞=120°，＜

AD

，

CA

＞=120°，＜

AD

，

CB

＞=90°，
所以cos＜

AG

，

CE

＞=

1 4 ( AC + AD )( CA + CB )

| AG || CE|

=

1 4 (- AC 2+ AC • CB + AD • CA + AD • CB )

| AG || CE |

=

1 4 (-1- 1 2 - 1 2 +0)

3 2 × 3 2

=-

2

3

，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值

2

3

．

点评：本题考查了正四面体中的线线关系以及空间距离和空间角的求法，借助于向量解决空间距离或者空间角是常用方法，题目典型，属于中档题．