Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定?x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f（f（x₀））=x₀，求证f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）取x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．
（2）g（x）=2^x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x₀）=x₀．

解答：解：（1）取x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0．（1分）
又由条件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）
（2）显然g（x）=2^x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；（4分）
也满足条件②g（1）=1．（5分）
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
则g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x2-1)(2x1-1)≥0，即满足条件③，（8分）
故g（x）理想函数．（9分）
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．（11分）
若x₀＜f（x₀），则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；（13分）
若x₀＞f（x₀），则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．（15分）
故x₀=f（x₀）．（16分）

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．