Question

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈[-1，1]）．
（1）若t＞0，求f（x）的最小值h（t）；
（2）对于（1）中的h（t），若t∈（0，2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=t（x+t）²-t³+t-1，
①若-t＜-1，即t＞1时，f（x）在[-1，1]上单调递增，f（x）的最小值为f（-1）=-2t²+2t-1；
②若-1≤-t＜0，即0＜t≤1时，则f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-t）=-t³+t-1；
∴h(t)=

-t3+t-1 -2t2+2t-1

t∈(0， 1]   t∈(1，+∞)

．                （6分）
（2）令g（t）=h（t）+2t=

-t3+3t-1 -2t2+4t-1

t∈(0， 1]   t∈(1， 2]

．  （7分）
①0＜t≤1时，由g′（t）=-3t²+3≥0，
∴g（t）在（0，1]单调递增；（9分）
②1＜t≤2时，g（t）=-2t²+4t-1=-2（t-1）²+1g（t）在（1，2]上单调递减，
由①、②可知，g（t）在区间（0，2]上的最大值为g（1）=1．（11分）
所以h（t）＜-2t+m²+4m在（0，2]内恒成立，等价于g（t）＜m²+4m在（0，2]内恒成立，
即只要1＜m²+4m，
解m²+4m-1＞0得：m＜-2-

5

或m＞-2+

5

所以m的取值范围为(-∞， -2-

5

)∪(-2+

5

， +∞)．        （14分）