Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上存在一点P，使点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、(1，

  3

  +1]
• B、(1，

  2

  +1]
• C、(1，

  3

  +1)
• D、(1，

  2

  +1)

Answer 1

分析：设左右两个焦点分别为F、F′，点P到左准线的距离为d，则点P到右焦点的距离为d，由第二定义可得

PF

d

=e，
再由第一定义可得ed-d=2a，由d=

2a2

c-a

≥a+

a2

c

，及

c

a

＞1，求出离心率的取值范围．

解答：解：设左右两个焦点分别为F、F′，点P到左准线的距离为d，则由题意可得点P到右焦点的距离也为d．
由第二定义可得

PF

d

=e，即 PF=ed．
再由第一定义可得ed-d=2a，∴d=

2a2

c-a

≥a+

a2

c

，
∴c² -a²-2ac≤0，解得 1-

2

≤

c

a

≤

2

+ 1．
再由

c

a

＞1 可得，1＜

c

a

≤

2

+ 1，
故选B．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到

2a2

c-a

≥a+

a2

c

，是解题的关键，属于中档题．