Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）利用和差角（辅助角）公式，将函数化为正弦型函数的形式，再由诱导公式可得f（x）=2cos2x，将x=$\frac{π}{6}$代入可得答案；
（Ⅱ）由 （I）得：f（x）=2cos2x，结合余弦函数的图象和性质，可得函数的最小正周期和单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin[（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∴f（$\frac{π}{6}$）=2cos（2×$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{3}$=1；
（Ⅱ）由 （I）得：f（x）=2cos2x，
∵ω=2，
∴周期T=π，
由2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z得：kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]，k∈Z

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数求值，余弦型函数的图象和性质，难度中档．