Question

已知

a

=(sin(

π

6

-2x)，-1)，

b

=(3，-2)，且函数f(x)=

a

•

b

，
（1）求f（x）的增区间；
（2）求f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的最大、最小值及相应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可求得f（x）=

a

•

b

=-3sin（2x-

π

6

）+2，从而可求得f（x）的增区间；
（Ⅱ）由-

π

12

≤x≤

π

12

可求得-

π

3

≤2x-

π

6

≤0，利用正弦函数的性质可求得f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的最大、最小值及相应的x值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=3sin（

π

6

-2x）+2
=-3sin（2x-

π

6

）+2，
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）可求其递增区间为：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（2）∵-

π

12

≤x≤

π

2

，
∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∵g（x）=-sinx在[-

π

3

，

π

2

]上单调递减，[

π

2

，

5π

6

]上单调递增；
∴g（x）_max=g（-

π

3

）=

3

2

，由2x-

π

6

=-

π

3

得，x=-

π

12

；
g（x）_min=g（

π

2

）=-1，由2x-

π

6

=

π

2

得，x=

π

3

．
∴当x=-

π

12

，f（x）_max=3×

3

2

+2=

3 3

2

+2；
当x=

π

3

时，f（x）_min=3×（-1）+2=-1．

点评：本题考查正弦函数的单调性，以向量的数量积为载体考查正弦函数的定义域和值域，求得f（x）=-3sin（2x-

π

6

）+2是解决问题的关键，属于中档题．