Question

已知直线y=kx（k＞0）与函数y=2sin（x-

π

6

）的图象（如图所示）有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标分别为α、β，且β＜α，则下列结论中正确的是（　　）

• A、tan（α-

  π

  6

  ）=β
• B、tan（β-

  π

  6

  ）=α
• C、tan（α-

  π

  6

  ）=α
• D、tan（β-

  π

  6

  ）=β

Answer 1

分析：欲判别选项的正误，只须利用直接法求解即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后将切点的坐标代入切线方程即可使问题解决．

解答：解：∵直线y=kx（k＞0）与函数y=2sin（x-

π

6

）的图象相切，
∴y′=2cos（x-

π

6

），
所以切线方程为y=2xcos（α-

π

6

）．
将切点的坐标（α，2sin（x-

π

6

））代入切线方程得：
∴tan（α-

π

6

）=α．
故选C．

点评：本小题主要考查已知三角函数模型的应用问题、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．