Question

10．已知函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}+x+2}{{x}^{2}+1}$，则f（x）的最大值与最小值的和为4．

Answer 1

分析 由f（x）可得2+$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，设g（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，判断g（x）为奇函数，可得g（x）的最值之和为0，即可得到所求最值的和．

解答 解：函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}+x+2}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，定义域为R，
g（-x）=-$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=-g（x），
则g（x）为奇函数，
即有g（x）在R上的最大值M和最小值m互为相反数，
则f（x）的最大值为M+2，最小值为m+2，
则M+2+（m+2）=4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的奇偶性及性质，考查运算能力，正确变形是解题的关键．