Question

已知函数f(x)=

x2

mx+n

（m，n为常数），且关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x₁=3，x₂=4．
（1）求m，n的值；
（2）设t＞1，试解关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．

Answer 1

分析：（1）欲求m，n的值，由题意得得：（m-1）x²+（n-12m）x-12n=0，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积和两根之和，即可得到一个关于m，n的方程，解方程即可求m，n的值．
（2）由（1）得f(x)=

x2

2-x

，从而关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．化简得即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），再对t进行分类讨论，即可得出不等式的解集．

解答：解：（1）由题意得：x-12=

x2

mx+n

，
化简得：（m-1）x²+（n-12m）x-12n=0，
又关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x₁=3，x₂=4，
∴

- n-12m m-1 =7 - 12n m-1 =12

，
∴m=-1，n=2．
（2）此时，f(x)=

x2

2-x

，
∴关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．
即（2-x）

x2

2-x

＜（t+1）x-t，
化简得：x²-（t+1）x+t＜0（x≠2），
即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），
①当1＜t≤2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜t}；
②当t＞2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜t且x≠2}．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、不等式的解法，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．