Question

求棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁C₁与AB₁的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：连结BD1，取A1B1的中点E，连BE交AB1于M，连D1E交A1C1于N，连MN． 　　因为ΔA1NE∽ΔC1ND1，所以＝＝， 　　则＝，同理＝． 　　∵＝．∴MN∥BD1． 　　由三垂线定理知BD1与A1C1、AB1都垂直，故MN为两对角线的公垂线， 　　又ΔEMN∽ΔEBD1 　　故＝＝．∴MN＝a． 　　解法二：取A1M＝，B1N＝，过N作NP⊥A1B1于P，连MP，则ΔMPN为直角三角形，由计算，PM＝a，PN＝a，故MN＝a．又A1N＝a，A1M＝a，故A1N2＝A1M2＋MN2，于是MN⊥A1C1；同理，由AN＝a，AM＝a，MN＝a可知MN⊥AB1．故MN为AB1与A1C1的公垂线段，从而AB1与A1C1的距离为a． 　　解法三：可转化为求平行平面间的距离．连A1D，C1D，A1C1，B1C．易知A1D∥B1C，A1C1∥AC．故平面A1DC1∥平面AB1C．连BD1，设与平面A1DC1交于M，与平面AB1C交于N．因BD1与图中所示6条面对角线都垂直，故BD⊥面A1DC1，也垂直于AB1C．即MN是A1C1与AB1的距离，在RtΔD1DB中，D1M＝＝a，而同理可求BN＝a，故 　　MN＝a－a－a＝a． 　　说明：上例还可以利用直线与平面平行、体积转换等方法求解．