Question

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

(an+

1

an

)（n∈N₊），试求a₁、a₂、a₃，并猜想a_n，然后用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析：根据求a₁、a₂、a₃，并猜想a_n，然后用数学归纳法进行证明，检验当n=1时，等式成立，假设n=k（k≥1）时，ak=

k

-

k-1

成立，证明当n=k+1时，等式也成立．

解答：解：当n=1时，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，可得a₁=1，
当n=2时，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，可得a2=

2

-1（a_n＞0），
当n=3时，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，可得a3=

3

-

2

（a_n＞0），
猜想：an=

n

-

n-1

（n∈N₊）
证明：（1）当n=1时，已证．
（2）假设n=k（k≥1）时，ak=

k

-

k-1

成立，则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)，
即ak+1-

1

ak+1

=-(ak+

1

ak

)=-(

k

-

k-1

+

1

k - k-1

)=-2

k

，
∴ak+1=

k+1

-

k

．由（1）（2）可知对n∈N₊，an=

n

-

n-1

成立．

点评：本题考查用数学归纳法证明等式，证明n=k+1时等式成立，是解题的难点和关键．