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17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD,底面ABCD为正方形,E为DP的中点,AF⊥PC于F.
(Ⅰ)求证:PC⊥平面AEF;
(Ⅱ)求二面角B-AC-E的余弦值.

分析 (Ⅰ)以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向理量法能证明PC⊥平面AEF.
(Ⅱ)先求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量,由此能求出二面角B-AC-E的余弦值.

解答 证明:(Ⅰ)以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
设PA=AD=2,则P(0,0,2),C(2,2,0),
D(2,0,0),B(0,2,0),E(1,0,1),A(0,0,0),
$\overrightarrow{AE}$=(1,0,1),$\overrightarrow{PC}$=(2,2,-2),
$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AE}$=2+0-2=0,∴PC⊥AE,
∵AF⊥PC于F,AE∩AF=A,
∴PC⊥平面AEF.
解:(Ⅱ)$\overrightarrow{AC}$=(2,2,0),$\overrightarrow{AE}$=(1,0,1),
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,-1),
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
设二面角B-AC-E的平面角为α,
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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