(本小题满分12分)
设函数,曲线在点处的切线方程.
(1)求的解析式,并判断函数的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。
(2)证明:曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
(3) 将函数的图象向左平移一个单位后与抛物线(为非0常数)的图象有几个交点?(说明理由)
(1) 的图像是以点为中心的中心对称图形.
(2) 三角形的面积为定值
(3) 由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点
当时在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
【解析】
试题分析:解:(1),
曲线在点处的切线方程为y=3,
于是 解得或
因,故.
,满足,所以是奇函数
所以,其图像是以原点(0,0)为中心的中心对称图形.
而函数的图像按向量平移,即得到函数的图像,
故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.
(2)证明:在曲线上任取一点. 由知,
过此点的切线方程为.
令得,切线与直线交点为.
令得,切线与直线交点为.
直线与直线的交点为.
从而所围三角形的面积为.
所以,所围三角形的面积为定值.
(3)将函数的图象向左平移一个单位后得到的函数为,
它与抛物线的交点个数等于方程=的解的个数
法一:
即 (解的个数,(易知0不是其解,不产生增根)
即 的零点(与x轴交点的横坐标)的个数
由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点 11分
当时在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
考点:导数的几何意义以及函数零点
点评:解决的关键是能结合导数的几何意义表示切线方程,进而分析函数的零点个数,需要对于a分类讨论得到,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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