Question

17．O为△ABC的重心，若OA=1，OB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，∠AOB=$\frac{π}{4}$，则OC=$\sqrt{4+2\sqrt{6}}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用余弦定理求得重心O到AB中点的距离，然后结合重心的性质求得OC．

解答 解：如图，
在△AOB中，OA=1，OB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，∠AOB=$\frac{π}{4}$，
由余弦定理可得，$AB=\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA•OB•cos∠AOB}$
=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}-2×1×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴AD=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设OD=x，
则$cos∠ADO=\frac{O{D}^{2}+A{D}^{2}-O{A}^{2}}{2•OD•DA}$=$\frac{{x}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{2}x}$，
$cos∠BDO=\frac{O{D}^{2}+B{D}^{2}-O{B}^{2}}{2•OD•BD}$=$\frac{{x}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}}{\sqrt{2}x}$．
∴$2{x}^{2}+2×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-1-（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}=0$，解得：$x=\sqrt{1+\sqrt{\frac{3}{2}}}$．
∴OC=2x=$\sqrt{4+2\sqrt{6}}$．
故答案为：$\sqrt{4+2\sqrt{6}}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．