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    已知非零向量
    a
    、
    b
    满足|
    a
    |=
    		3
    |
    b
    |    ，若函数f(x)=
    1
    3
    x3+|
    a
    |x2+    2
    a
    •
    b
    x+1    在R上有极值，则＜a，b＞的取值范围是
     
    ．
    分析：本题可以先利用向量的数量积求出函数f（x）的解析式，即：f(x)=
    1
    3
    x3+
    		3
     |
    b
    |  x2+2
    		3
    |
    b
    |    2    cos＜
    a
    ，
    b
    ＞x+1    ，然后利用极值存在，转化为开口向上的二次函数与x轴有两个交点，利用判别式△＞0可解得．
    解答：解：由已知，f(x)=
    1
    3
    x3+|
    a
    |x2+2|
    a
    |•|
    b
    |cos＜
    a
    ，
    b
    ＞x+1    ，
    即f(x)=
    1
    3
    x3+
    		3
     |
    b
    |  x2+2
    		3
    |
    b
    |    2    cos＜
    a
    ，
    b
    ＞x+1    ，
    所以f′(x)=x2+2
    		3
    |
    b
    |x+2
    		3
    |
    b
    |    2    cos＜
    a
    ，
    b
    ＞
    要使函数 f(x)=
    1
    3
    x3+|
    a
    |x2+2
    a
    •
    b
    x+1    在R上有极值，注意到f′（x）为开口向上的二次函数，所以必须且只需其判别式△＞0，
    即有：△=12|
    b
    |    2    -4×2
    		3
    |
    b
    |    2    cos＜
    a
    ，
    b
    ＞    ＞0，即有：cos＜
    a
    ，
    b
    ＞ ＜
    		3
    2
    成立，得
    π
    6
    ＜＜
    a
    ，
    b
    ＞≤ π    ．
    故答案为：(
    π
    6
    ，π]
    点评：本题考查了向量与函数的综合知识，考查向量的数量积以及求向量的夹角，利用函数的导数研究极值，考查函数在实数集R上的条件．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知非零向量
    a
    ，
    b
    满足|
    a
    +
    b
    |=|
    a
    -
    b
    |    ，求证：
    a
    ⊥
    b
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知非零向量
    a
    、
    b
    满足|
    a
    +
    b
    |=|
    b
    |    ，
    ①若
    a
    、
    b
    共线，则
    a
    =-2
    b
    ；
    ②若
    a
    、
    b
    不共线，则以|
    a
    |、|
    a
    +2
    b
    |、2|
    b
    |    为边长的三角形为直角三角形；
    ③2|
    b
    |＞|
    a
    +2
    b
    |    ； ④2|
    b
    |＜|
    a
    +2
    b
    |    ．
    其中正确的命题序号是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•鹰潭一模）已知非零向量
    a
    ，
    b
    满足|
    a
    +
    b
    |=|
    a
    -
    b
    |=
    2
    		3
    3
    |
    a
    |，则
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    的夹角为
    π
    3
    π
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•杭州模拟）已知非零向量
    a
    ，
    b
    满足|
    a
    |=1，|
    a
    -
    b
    |=
    		3
    ，
    a
    与
    b
    的夹角为120°，则|
    b
    |=
    1
    1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•珠海二模）已知非零向量
    a
    ，
    b
    满足
    a
    ⊥
    b
    ，则函数f(x)=(
    a
    x+
    b
    )2(x∈R)    是（　　）

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