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已知P是双曲线的右支上一点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为e,有下列命题:①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为
②若|PF1|=e|PF2|,则e的最大值为;③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a;④若直线PF1的斜率为k,则e2-k2>1,其中正确命题的序号是   
【答案】分析:求出准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标,即可得到此准线被它的两条渐近线所截得的线段
长度为,故①正确.
由双曲线的定义可得 2a+|PF2|=e|PF2|,根据|PF2|=≥c-a,求得1<≤1+,故②不正确.
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|KF1|=a+c,故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a,故③正确.
由题意可得k<,故e2-k2>1,故④正确.
解答:解:对于①,一准线方程为x=,它的两条渐近线方程为 y=±x,
故准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标分别为
故此线段的长度为,故①正确.
对于②,若|PF1|=e|PF2|,则由双曲线的定义可得 2a+|PF2|=e|PF2|,e>1.
∴|PF2|==≥c-a,∴e2-2e-1≤0,
∴1-≤1+,故有 1<e≤1+,即离心率的最大值为1+,故②不正确.
对于③,设△PF1F2的内切圆与PF1和PF2的切点分别为M,N,与x轴的切点为K,
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|-|NF2|=2a=|KF1|-|KF2|,
又|KF1|+|KF2|=2c,∴|KF1|=a+c,故K为双曲线的右顶点,又△PF1F2的内切圆的圆心
在切点K 的正上方,故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a,故③正确.
对于④若直线PF1的斜率为k,则由题意可得k<,∴k2,∴e2-k2>1,故④正确.
故答案为:①③④.
点评:本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,熟练掌握双曲线的性质,是解题的关键.
练习册系列答案
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.已知P是双曲线的右支上一点,A1, A2分别为双曲线的左、右顶点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为,有下列命题:

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    ②若

    ③的内切圆的圆心横坐标为

    ④若直线PF1的斜率为

    其中正确的命题的序号是           。

 

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②若,则e的最大值为

的内切圆的圆心横坐标为a;

④若直线PF1的斜率为k,则

其中正确的命题的序号是                  .

 

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②若|PF1|=e|PF2|,则e的最大值为
③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a;
其中正确命题的序号是   

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