Question

已知函数f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.

（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；

（2）证明：对任意实数0<x₁<x₂<1, 关于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x₀，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

当0<a<b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）

Answer 1

解：(1)因为f’(x)=3mx²+2nx,---1’ 由已知有f’(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m

即f’(x)=3mx²-6mx,由f’(x)>0知mx(x-2)>0.

当m>0时得x<0或x>2，f(x)的减区间为（0，2）；

当m<0时得：0<x<2,f(x)的减区间为（-∞，0），（2，+∞）；

综上所述：当m>0时，f(x)的减区间为（0，2）；

当m<0时,f(x)的减区间为（-∞，0），（2，+∞）；

可化为3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂=0,令h(x)= 3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂

则h(x₁)=(x₁-x₂₎(2x₁+x₂-3),h(x₂)=(x₂-x₁)(x₁+2x₂-3),

即h(x₁)h(x₂)=-(x₁-x₂)²(2x₁+x₂-3)(x₁+2x₂-3)     

又因为0<x₁<x₂<1,所以(2x₁+x₂-3)<0,(x₁+2x₂-3)<0,  即h(x₁)h(x₂)<0,

故h(x)=0在区间(x₁,x₂)内必有解，

即关于x的方程在（x₁,x₂）恒有实数解

（3）令g(x)=lnx,x∈(a,b)，

则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在x₀∈（a,b）,使

因为g’(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g’(x)∈(),b-a>0

即。