Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

（其中α为参数），M是曲线C₁上的动点，且M 是线段OP 的中点，（其中O点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线C₂，直线l 的方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

，直线l 与曲线C₂交于A，B两点．
（1）求曲线C₂的普通方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）把曲线C₁的参数方乘化为普通方程，设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标，再把点M的坐标代入C₁的普通方程化简可得所求．
（2）求得直线l的直角坐标方程，求出圆心（0，4）到直线的距离d，利用弦长公式求出线段AB 的值．

解答：解：（1）由曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

（其中α为参数），消去参数化为普通方程为 x²+（y-2）²=4．
设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标为（

x

2

，

y

2

）．
再由M是曲线C₁上的动点可得 (

x

2

)2+(

y

2

-2)2=4，即 x²+（y-4）²=16．故曲线C₂的普通方程为  x²+（y-4）²=16．
（2）直线l 的方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y-2=0．
由于圆心（0，4）到直线的距离等于d=

|0+4-2|

2

=

2

，圆的半径等于4，
∴线段AB=2

r2-d 2

=2

14

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．