Question

8．求$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的取值范围．

Answer 1

分析 化$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}-\sqrt{（x-2）^{2}+3}$，由其几何意义作出图形，数形结合得答案．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}-\sqrt{（x-2）^{2}+3}$．
其几何意义为动点P（x，0）到定点A（1，1）的距离与动点（x，0）到定点B（2，3）的距离差．
如图，

当P（x，0）为线段BA的延长线与x轴交点时，有最小值为-$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-1）^{2}}=-\sqrt{5}$，
当x→+∞时，动点P（x，0）到定点A（1，1）的距离与动点（x，0）到定点B（2，3）的距离差趋于$\sqrt{5}$．
∴$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的取值范围是[-$\sqrt{5}，\sqrt{5}$）．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，属中高档题．