Question

已知函数f(x)＝x³－x²＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．
(1)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值；
(2)当a＞0时，求函数f(x)的极值．

Answer 1

f(x)＝x³－x²＋bx＋a，f′(x)＝x²－(a＋1)x＋b
由f′(0)＝0得b＝0，f′(x)
＝x(x－a－1)．
(1)存在x＜0，使得f′(x)
＝x(x－a－1)＝－9，
－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，
∴a≤－7，
当且仅当x＝－3时，a＝－7.所以a的最大值为－7.
(2)当a＞0时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，0)	0	(0， a＋1)	a＋1	(a＋1， ＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

f(x)的极大值f(0)＝a＞0，
f(x)的极小值f(a＋1)
＝a－(a＋1)³

略