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17.如图所示,直线AB为圆O的切线,切点为B,点C在圆O上,∠ABC的平分线BE交圆O于点E,DB垂直BE交圆O于点D.
(1)证明:DB=DC;
(2)设圆O的半径为1,BC=$\sqrt{3}$,延长CE交AB于点F,求线段BF的长.

分析 (1)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.
(2)由(1)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到线段BF的长

解答 (1)证明:连接DE交BC于点G,
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.(1分)
∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.(3分)
又∵DE⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=90°.(4分)
∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.(5分)
(2)解:设DE与BC相交于点G,
由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线.(6分)
∵$BC=\sqrt{3}$,∴$BG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.(7分)
连接BO,∵圆O的半径为1,∴∠BOG=60°,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
∴CF⊥BF.(9分),∴$BF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.(10分)

点评 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力.

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