Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，
∵在△PAB中，E，H为中点，
∴EH∥PB，
∵EH平面PBC，PB平面PBC，
∴EH∥平面PBC，
同理可证明FH∥平面PBC，
∵EH平面EFH，FH平面EFH，EH∩FH=H，
∴平面EFH∥平面PBC，
∵EF平面EFH，
∴EF∥平面PBC．
（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，
∵PA=PD，
∴OP⊥AB，
∵EI⊥AB，
∴EI∥OP，
∵E为中点，
∴EI= OP= ，AE= AB= ，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，
∴EI⊥底面ABCD，
∵IJ⊥DB，
∴EJ⊥DB，
∴∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，
∵∠ADB=∠JIB，∠DJI=∠DAB=90°，
∴△DJI∽△ADB，
∴ = ， = ，
∴JI=
∴EJ= = = ，
∴cos∠EJI= = = ．
即二面角E﹣DF﹣A的余弦值为 ．
（Ⅲ）不存在．
假设存在，连接AC，BD，交于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，
以O为原点，OA，OF，OP分别为xyz轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），
B（1，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），
P（O，O， ），E（ ，0， ），F（0，1，0），设G（x1 ， y1 ， z1），则 =（x1 ， 1﹣y1 ， z1），
设平面EFD的一个法向量是n=（x0 ， y0 ， z0），
∵ ，
即 ，令x0=1，则n=（1，﹣1，﹣ ），
∵因为GF⊥面EDF，
∴ =λ ，
∴x1=λ，y1﹣1=﹣λ，z1=﹣ λ，
∵ ， 共线， =（﹣1，2，﹣ ），
=（x1+1，y1﹣2，z1），
∴ = = ，
∴ = = ，无解，
故在棱PC上不存在一点G，故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF．


【解析】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，先利用面面平行的判定定理证明出平面EFH∥平面PBC，进而根据面面平行的性质证明出EF∥平面PBC．（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，先证明出∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，进而求得JI和EJ，最后在直角三角形中求得cos∠EJI．（Ⅲ）先假设存在点G，建立空间直角坐标系，求得平面EFD的一个法向量，仅而表示出 和 ，根据向量共线的性质建立等式对λ求解．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．