Question

13．如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B两点．当$k=\sqrt{3}$时，$|AB|=\sqrt{15}$．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠ATB始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，利用勾股定理，建立方程，即可求出b，从而求圆C的方程；
（Ⅱ）假设存在点T（0，t），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+3\\{x^2}+（y-2{）^2}=4\end{array}\right.$，利用韦达定理，结合k_AT+k_BT=0，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，…（2分）
则圆心C（0，b）到$y=\sqrt{3}x+3$的距离$d=\frac{|3-b|}{2}$
∴$（\frac{|3-b|}{2}{）^2}+（\frac{{\sqrt{15}}}{2}{）^2}={b^2}$…（5分）
得∴b=2或b=-4（舍）
∴圆C的方程为∴x²+（y-2）²=4…（7分）
（Ⅱ）假设存在点T（0，t），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+3\\{x^2}+（y-2{）^2}=4\end{array}\right.$
得（1+k²）x²+2kx-3=0
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{1+{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$…（10分）
由k_AT+k_BT=0
即$\frac{{{y_1}-t}}{x_1}+\frac{{{y_2}-t}}{x_2}=0$…（12分）
∴2kx₁x₂+（3-t）（x₁+x₂）=0，
∴6k+2k（3-t）=0对k取任意实数时都成立，∴t-3=3即t=6
故存在定点T（0，6），使得∠ATB始终被y轴平分．…（15分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．