Question

高为8的圆台内有一个半径为2 的球O₁，球心O₁在圆台的轴上，球O₁与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O₂，使得球O₂与球O₁、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O₂，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据放球的要求，加入的小球和球O₂与球O₁、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，即加入小球的球心与O₂均匀分布在与底面距离为3，以到圆台的轴的距离为|OO₂|=

(3+2)2-32

=4的圆周上．

解答：解：由分析可知：原问题即需要考查半径为4的圆周上均匀分布着几个半径为3且不相交的圆，如图所示，设∠POO₂=∠POO₃=α，
则sinα=

3

4

，∵

2

2

＜

3

4

＜

3

2

，
∴45°＜α＜60°，
∴90°＜2α＜120°．故圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是2．
故选B．

点评：本题需要较强的空间想象能力和计算能力，把问题进行恰当的转化是解决的关键．