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给定两个命题,P:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;Q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果P与Q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围.
分析:先对两个命题进行化简,转化出等价条件,根据P与Q中有且仅有一个为真命题,两命题一真一假,由此条件求实数a的取值范围即可.
解答:解:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立?a=0或
a>0
△<0
?0≤a<4;
关于x的方程x2-x+a=0有实数根?1-4a≥0?a≤
1
4

如果P正确,且Q不正确,有0≤a<4,且a>
1
4
1
4
<a<4

如果Q正确,且P不正确,有a<0或a≥4,且a≤
1
4
∴a<0

所以实数a的取值范围为(-∞,0)∪(
1
4
,4)
点评:本题考查命题的真假判断与应用,求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件,本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错,解题时要注意特殊情况的验证.是中档题.
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给定两个命题,P:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;Q:a2+8a-20<0.如果P∨Q为真命题,P∧Q为假命题,求实数a的取值范围.

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给定两个命题,P:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;Q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果“P∧Q”为假,且“P∨Q”为真,求实数a的取值范围.

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